神马是AHP

层次分析法（Analytic Hierarchy Process）简称AHP，是一种半定量的方法。假设我们有一个目标y，同时我们有三个标准$x_1, x_2, x_3$，需要评价目标$y$，用矩阵表示就是$Ax=y$。那么我们怎么确定各个x的权重$a_1, a_2, a_3$呢？当然可以老板拍脑袋随便蹦出三个数。但是为了让这个三个数字看起来更有说服力，我们还是使用打分的方法。

两两比较

通常的直觉的想法是1-9分你按照$x$对$y$的重要性打分吧，但是这样有个问题，就是如果有10个变量要打分我有一个是1分，一个是9分，但是中间几个就不知道该给几分才好。这是因为人天性是对两两比较比较敏感，很多个放一起往往让人不知所措。于是在层次分析法中使用的是两两比较，总数推荐别超过9个。

分层模型

AHP的另一个优点是它可以分层处理问题，当然实际上一般三层比较常用，多了很难解释。从结构上说有点类似于以数据为基础的多层线性回归。

用AHP选方案？

AHP除了能算出来最下面一层各个变量对目标的重要性外，其实还可以用来选方案。如果最下面一层是多个方案，因为权重是可以排序的，那么同样的投入，权重是最大的方案带来的目标改善最大。下面举个选旅游方案的栗子(百度文库)

怎么算

假设我们有目标层O(1)：旅游价值。
准则层C(2)：景色，费用，居住，饮食。
方案层P(3)：帝都，成都，武都。

然后我们就比较同一层次中每个因素关于上一层的同一个因素的相对重要性。模型中的要素i相对于要素j对上层要素的重要程度，1表示i与j同等重要，3表示i比j略重要，5表示i比j重要，7表示i比j重要很多，9表示i比j极其重要，可以用$w_i/w_j$表示该重要程度，两两比较后可以得到以下矩阵：

有个矩阵我们就可以求特征值和特征向量了。如果打分比较合理的话，应该只有一个正的特征值和好几个为0的特征值。$$Aw = \lambda w$$
我们通常取最大的那个特征值对应的特征向量为权重向量w。

1
2
3
4
5
6

% Matlab Code
[x, y] = eig(A);
eigenvalue = diag(y);
lambda = eigenvalue(1); %the Max one
w = x(:,1);	
w = w./sum(w); % regularization

如何评价一致性

一致性指标CI，当其接近0时一致性较好。
$$CI = \frac{\lambda - n}{n-1}$$

一致性比率CR，CR < 0.1 表示通过一致性检验。

$$CR = \frac{CI}{RI}$$

RI是平均一致性指标，是多次随机实验计算的结果，如下表：