Q: 已知平面上n点，其中无4点共圆，过3点做1个圆，求最多的交点数(不包括这n个点)。

当n=10的时候，给出具体数值

A：过三点(A,B,C)做一个圆，其他圆和它的交点最多N个。那么总共最多的交点是$\frac{C(n,3)N}{2}$.

因为考虑最多，所以不考虑相切的情况。

N可以分为三个部分，N0:其他圆有0交点在A,B,C中,每个圆和这个圆有额外2个交点 N1:其他圆有1交点在A,B,C中，有额外一个交点; N2: 其他圆有2交点在A,B,C中.N2=0;

N0: 容斥原理, 求出

$$|\overline{A_1}\cap\overline{A_2}\cap\overline{A_3}|=C(n,3)-3C(n-1,2)+3C(n-2,1)-1$$

$$N0 = 2\times[C(n,3)-3C(n-1,2)+3C(n-2,1)-1]$$

N1: 只过一个点
$$
|A_1\cap\overline{A_2}\cap\overline{A_3}|=|\overline{A_1}\cap A_2 \cap\overline{A_3}|=|\overline{A_1}\cap\overline{A_2}\cap A_3 |=C(n-1,2)-2C(n-2,1)+1$$

$$N1 = C(3,1)[C(n-1,2)-2C(n-2,1)+1]$$

$$Total =\frac{C(n,3)(N0+N1)}{2}$$